Hogyan működik a hazai egyetemi felvételi rendszer? Az köztudott, hogy a ponthatárok szabják meg, kit hová vettek fel. A diákok megadják a jelentkezési sorrendjüket, az érettségi után a pontszámaik minden képzésen véglegesednek, majd a központ nyilvánosságra hozza a ponthatárokat, és mindenkit arra a képzésre vesznek fel, amelyik a jelentkezési listája szerint számára a legjobb azon közül, ahol elérte a ponthatárt. Az aktuális ponthatárok minden év júliusában vezető hírként szerepelnek a médiában, és a diákok a szintén központilag szervezett Pont Ott Parti keretében együtt is izgulhatnak, hogy megtudják, bejutottak-e az áhított szakra.
Mennyire igazságos ez a megoldás, amit a ponthatáros rendszerben kapunk? Ha magát a pontozást, mint meritokratikus rangsorolást, igazságosnak véljük, akkor a ponthatárok rendszere biztosítja, hogy nem fordulhat elő olyan igazságtalan helyzet, hogy egy diákot visszautasítanak egy szakról, míg egy másik, kisebb pontszámú diákot felvesznek ugyanoda. Ha ezen úgynevezett jogos-irigység-mentes tulajdonság mellett még a pazarlásmentesség is teljesül, vagyis nem marad üres hely sehol, ahonnan visszautasítottak egy diákot, akkor a megoldást a szakirodalom stabilnak nevezi. Ez a kívánalom alapvetőnek mondható mind a tudományos szakirodalomban, mind a gyakorlatban. A hazaihoz hasonló pontrendszeres nemzeti felvételi működik Spanyolországban, Írországban, Dániában, Chilében és a kínai program is ponthatárokon alapul. Az európai alkalmazások egy részéről a Matching in Practice nemzetközi kutatói hálózat weboldalán található részletes leírás. Sok országban viszont nincs központi felvételi, csak decentralizált felvételik. Meglepő módon Németországban és Franciaországban az elmúlt években központi, de dinamikus eljárásokat vezettek be, ahol nem kell előre megadnia a diákoknak a preferenciáikat. Erre a kérdésre visszatérünk az írás végén, de előbb lássuk, hogy miként lehet kiszámítani a diákoknak optimális stabil ponthatárokat a jelentkezések és pontszámok alapján, hogyan működik a hazai rendszer.
Gale-Shapley algoritmusa (vigyázat, a következő rész nyomokban matematikát tartalmaz!)
Az 1962-es cikkben leírt párosító algoritmus az úgynevezett késleltetett elfogadás módszeren alapszik. Két verziója van, aszerint, hogy a diákok vagy az egyetemek teszik az ajánlatokat. Nézzük a diákok szerintit. Kezdetben minden diák beadja a jelentkezését a listáján szereplő első helyre. Amely képzésen a jelentkező diákok száma meghaladja a kvótát, ott a rangsor szerint megtartják a legjobb kvótányi diákot feltételesen, a többieket pedig véglegesen visszautasítják. Ezután a visszautasított diákok jelentkeznek a listájukon szereplő következő helyre, majd az egyetemek ismét megtartják az összes jelentkező közül a rangsor szerint legjobb kvótányi diákot (függetlenül attól, hogy hányadik helyen jelentkeztek erre a helyre), és a többieket visszautasítják véglegesen. Ez ismétlődik a többi körben. Mivel a diákok a listájukon sosem lépnek vissza, ezért a folyamat véget ér, és a megoldás stabil lesz (1. tétel). Gale és Shapley azt is belátta, hogy nincs olyan másik stabil párosítás, ahol csak egy diák is jobban járhatna, vagyis a diákok felől futtatott késleltetett elfogadás mechanizmus diák-optimális stabil megoldást ad (2. tétel). Sőt, Roth 1982-ben azt is bebizonyította, hogy a diákoknak nem érdemes trükközniük a preferencia-listájuk megadásakor, egyikük sem juthat be jobb helyre, mint a valós preferenciája megadásával. Ráadásul a helyesen implementált párosító algoritmus rendkívül gyors, futásideje arányos a jelentkezések számával, így bármelyik országban pár másodperc alatt lefut egy normál laptopon.
Gale és Shapley cikke különleges volt abból a szempontból, hogy matematikai folyóiratban jelent meg, de semmilyen matematikai formulát nem használtak benne. Egy valós problémára adtak egy modellt és egy algoritmikus megoldást, amely két tételük alapján teljesíti a stabilitás kívánalmát, és ráadásul optimális a diákoknak. Ez a cikk alapozta meg a preferencia-alapú párosítások elméletét, amely az alkalmazott közgazdaságtanban, a játékelméletben, a matematikában és az algoritmuselméletben egyaránt fontos tématerület lett az elmúlt évtizedekben. Magát az algoritmust pedig számos országban és számos alkalmazásban használják ma is, legelőször az amerikai rezidensek allokálására 1952-ben, hazánkban pedig a hazai egyetemi és középiskolai felvételikben. A tudományos és társadalmi hatás egyik elismerése, hogy 2012-ben (50 évvel a Gale-Shapley cikk publikálása után) Lloyd S. Shapley és Alvin E. Roth közgazdasági Nobel-emlékdíjat kapott a területen végzett munkásságáért (az érdeklődő Olvasó figyelmébe ajánlunk egy ismertető cikket erről.
A magyar középiskolai felvételi rendszer teljesen a fent leírt Gale-Shapley algoritmust követi.
A felsőoktatási felvételi rendszernek azonban számos specialitása van, ami miatt ezt heurisztikákkal kellett kiegészíteni. A pontszámító algoritmus részletes leírása a 2008 óta működő változatot mutatja be a felvételi hivatalos honlapján. Az egyik ilyen specialitás a pontszámegyezésekből fakadó holtversenyek. Ha két hazai diák azonos pontszámmal versenyez egy utolsó helyért egy adott szakon, akkor az algoritmus minkettőjüket visszautasítja. Érdekesség, hogy Chilében ebben az esetben mindkét diákot felveszik, Írországban pedig sorsolással döntenek közöttük (erről a kérdésről lásd ezt a tudományos cikket). A hazai képzéseken alsó kvótát is meghatároznak, amelyet el nem érő létszám alatt a képzés nem indulhat el. Vannak továbbá úgynevezett közös kvóták is kari és országos szinteken. Ezek a követelmények már számítástudományi értelemben is bonyolulttá teszik a feladatot (lásd részleteket itt). A KRTK és BCE kutatói legújabb tanulmányukban olyan matematikai módszereket dolgoztak ki, amellyel ez a komplex feladat is kezelhetővé válik a gyakorlatban, és jobb megoldást adhat, mint a jelenleg használt heurisztika.
Az elmúlt 12 évben számos változtatás történt a hazai felvételiben. A legnagyobb súlyú a 2012-es „reform” volt, amely során a jogi és közgazdasági képzések államilag finanszírozott kvótáit drasztikusan csökkentették, magasan meghúzott minimális ponthatárokat vezettek be bizonyos szakokon, és az állami ösztöndíj felhasználási feltételeit is jelentősen szigorították. (A reform negatív hatásairól lásd például Varga Júlia és társai tanulmányát.) A kormányzat próbálkozott még a duális képzés bevezetésével elsősorban mérnöki képzéseken, ahol a diákok egyetemi tanulmányaikkal párhuzamosan egy egyetemmel leszerződött cégnél dolgozhatnak gyakornokként. A központi felvételi eljárást azonban nem terjesztették ki a cégekre, amely számos koordinációs problémát szült. A világjárvány miatt kialakult helyzetben érthető okokból az egész koncepció veszített a vonzerejéből.
Mi várható a most bejelentett változásoktól? Számos pozitív és negatív vélemény fogalmazódott meg az egyetemi vezetőktől és oktatáskutatóktól.
A pozitívum, hogy az egyetemek szabadon dönthetnek a 100 pontról, vagyis növekszik az autonómiájuk a diákok kiválasztásában. Vannak olyan remények is, hogy az extra pontokat akár az esélyegyenlőség javítására is fel fogják majd használni, ahogy azt a Corvinus rektora Takáts Előd is előrevetítette. (Az egyetem Illyés Gyula felzárkóztató programja is egy nagyon előremutató lépés ebben az irányban, bár egyelőre csak kis számú ösztöndíjast érint.) Az esélyegyenlőség javítására egy nemrég ismertetett tanulmány szerint valóban nagy szükség lenne a hazai felsőoktatásban, mert az oktatási szegregáció tekintetében hazánk sereghajtó Európában. Vannak olyan oktatáskutatók is, akik viszont pont attól tartanak, hogy az új rendszerben a kevésbé átlátható (például szóbelin alapuló) szelekció inkább erősíteni fogja az elitista szelekciót, és ez árt az esélyegyenlőségnek. Azt is negatívumként emelik ki, hogy az ötödik érettségi tárgy, vagy egyéb extra felvételi előírások, amiről az egyetemek most szabadon dönthetnek, szűkítik majd a diákok szabad választását, hiszen előre ki kell választaniuk, hogy mely tárgyakra vagy egyéb követelményekre készülnek fel. Ezekről a kérdésekről majd csak akkor lehet pontosabb ítéletet mondani, ha szeptember végén kiderülnek, hogy pontosan milyen pontszámítást javasolnak az egyetemek a minisztérium felé.
Nemzetközi trendek, új alternatívák?
Térjünk vissza végül a Franciaországban 2018-ban bevezetett rendszerre, amely sok érdekességet mutat mind tudományos szempontból, mind a gyakorlati alkalmazás társadalmi vonatkozásában. A 2018 előtti francia rendszer sok szempontból kedvezőtlen volt, egyrészt a helyi jelentkezőknek adott prioritás nem kedvezett a szabad választásnak, másrészt az első jelentkezésre adott pluszpont stratégiai döntésre késztette a diákokat, vajon be merjék-e jelölni a kedvenc képzésüket első helyen, ahol bizonytalan a felvétel, vagy inkább használják a pluszpontot egy közepesen kedvelt képzésre való biztos bejutásra?
De a diák-tüntetések akkor törtek ki igazán, amikor kiderült, hogy a központi párosító algoritmus még sorsol is, ha két diáknak azonos a prioritása.
Az átláthatatlan és igazságtalan rendszer reformja politikailag is elodázhatatlanná vált. Az új rendszerben a diákok 10 helyre jelentkezhetnek, de nem kell megadniuk a preferenciáikat. Az egyetemeknek transzparens szempontok szerint kell rangsorolniuk a jelentkezőket, majd egy központi platform az egyetemek felől végzi el az ajánlatok tételét a Gale-Shapley féle mechanizmus dinamikus formájában. Az egyetemek ajánlatai automatikusan érkeznek, a diákoknak eleinte 7 napjuk, a későbbi körökben 3, majd csak 1 nap áll rendelkezésre a döntésre, hogy az ajánlatok közül melyiket tartják meg, és melyeket utasítanak vissza véglegesen. A megtartott ajánlatnál aztán később érkezhet még jobb, tehát érdemes lehet várni, de az elégedett diákok bármikor véglegesíthetik a döntésüket és előbb elkezdhetik a nyaralást vagy az albérlet-keresést.
Mik lehetnek a dinamikus rendszer előnyei?
A témakör szakértői sem igazán értették, hogy miért így vezették be ezt a rendszert, miért nem kérik be a francia diákoktól is előre a preferenciákat, és számítják ki a ponthatárokat egy pillanat alatt a direkt módszerrel, ahogy hazánkban is történik. Két hónapig elhúzni ezt a folyamatot számos hátránnyal járhat, például sokan inkább kiegyeznek egy közepes ajánlattal, és nem várják meg a folyamat végét. Az egyik magyarázat a dinamikus formára az volt, hogy ebben az esetben a diákok biztosan az őszinte stratégiát fogják követni a preferenciájuk érvényre juttatásakor, vagyis, ha több ajánlat érkezik, akkor nyilvánvalóan a számukra legkedvezőbbet fogják megtartani ezek közül.
Egy másik érvelés azt emeli ki, hogy a dinamikus változat abból a szempontból is hatékonyabb, mint az egylépéses direkt, mert itt a diákoknak nem kell mind a tíz lehetséges szak között előre felállítani a preferenciát, rendesen utánajárni ezeknek az opcióknak, hanem csak akkor kell kiértékelniük és dönteniük az opciók között, amikor ténylegesen megérkeznek az ajánlatok. Az utánajárás és a rangsorolási döntés kognitív költsége tehát sok szaknál megspórolható.
Végül a harmadik, újonnan felmerült szempont a visszautasítástól való félelem. Több direkt alkalmazásban azt figyelték meg, hogy a diákok nem mernek olyan helyekre jelentkezni, ahol nagy a visszautasítás veszélye. A magyar egyetemi felvételiben is jellemzően csak három helyre jelentkeznek a diákok, és a középiskolai felvételiben is megfigyelhető ez a jelenség, pedig ott nem korlátos a jelentkezések száma. Ez a jelentkezési stratégia elsőre nem tűnik racionálisnak, hiszen, ha egy diák kihagy egy szakot a listájáról azzal csak veszíthet a Gale-Shapley módszer esetén, de viselkedési közgazdaságtani modellekkel meg lehet ezt magyarázni, és a legújabb kutatások ennek relevanciáját ki is mutatták több alkalmazásban is. Ha mondjuk a diáknak A>B>C>D>E>F a valódi preferencia listája, de az A és B helyen rizikós a felvétel, E-nél meg általában magasabb a ponthatár, mint D-nél, akkor lehet, hogy a diák csak a C>D>F preferencia listát adja be. Ha végül C-re veszik fel, akkor sokkal elégedettebb lesz, mint az eredeti listával lett volna, mert nem utasították vissza A-ból és B-ből. Ez különösképpen igaz akkor, ha az A-ra és B-re külön erőfeszítés kellene tennie, mondjuk egy másik érettségi tárgyra vagy egy szóbelire való felkészüléssel az új hazai rendszerben. A visszautasítástól való félelem modellezése Kőszegi és Rabin 2006-ban publikált referencia-függő preferenciák elméletén alapul.
Kőszegi Botond talán a legnevesebb magyar közgazdász, a Harvard, MIT és Berkeley után 2012-ben költözött haza és fogadott el állást a CEU-n, majd 2015-ben elnyerte a legjobb 45 év alatti európai közgazdászának adott Yrjö Jahnsson díjat. A 2019-ben Bécsbe száműzött CEU-ról 2022 nyarán költözött Bonnba. Így veszítette el Magyarország az új évszázad eddigi legtehetségesebb fiatal közgazdászát.
Összegzés
A hazai felsőoktatási és középiskolai felvételik tehát lényegében a tudományosan legjobbnak tartott Gale-Shapley mechanizmussal működnek. A pontszámítás módszere és egyéb specialitások azonban nagyban meghatározhatják az eredményt, az új hazai reform hatása egyelőre kérdéses, sok múlik az egyetemek reakcióján. Láthatjuk azonban azt is, hogy a sztenderd módszer használatát több országban dinamikussá tették, ami a modern technológia révén egy új lehetőség, ugyanúgy, ahogy az optimalizáció és a mesterséges intelligencia felhasználása is az lenne.
Ha filmeket vagy reklámokat egészen pontosan tudnak ajánlani a platformok a felhasználóknak, akkor vajon gimnáziumokat vagy egyetemi szakokat miért ne tudnának?
Az alkalmazások köre is bővülhet. Hazánkban a bölcsődei, óvodai vagy általános iskolai felvételi elég kaotikus és átláthatatlan, ezeken is javíthatna egy felhasználóbarát platform, megfelelő felvételi mechanizmusokkal. A tématerület kutatására 2016-ban alakult meg a KRTK Közgazdaságtudományi Intézetében a Mechanizmustervezés Lendület kutatócsoport, ahol a kutatók számos tudományos kutatásban és alkalmazás megtervezésében vettek részt. Ezek közül korábbi írásainkban már két alkalmazás bemutatásra került: a vesedonorok allokálása vesebetegekhez és az önkéntes mentorok összekötése diákokkal. A 2021-ben elnyert új Lendület pályázat révén a kutatócsoport a kísérleti közgazdaságtan és az energiapiacok témaköreit is vizsgálni kezdte a mérnöki közgazdaságtannak elnevezett koncepcióval és eszköztárral.
A hivatkozott cikkek a következők:
- Ágoston, K. C., Biró, P., Kováts, E., Jankó, Zs. (2022). College admissions with ties and common quotas: Integer programming approach. European Journal of Operational Research, 299(2), 722-734.
- Biró, P., Fleiner, T., Irving, R. W., Manlove, D. F. (2010). The college admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science, 411(34-36), 3136-3153.
- Biró, P., Kiselgof, S. (2015). College admissions with stable score-limits. Central European Journal of Operations Research, 23(4), 727-741.
Biró Péter a ELKH Közgazdaság- és Regionális Tudományi Kutatóközpont Közgazdaságtudományi Intézetének főmunkatársa, a Mechanizmustervezés Lendület kutatócsoportjának vezetője, és docens a Budapesti Corvinus Egyetemen.
A cikk a szerző véleményét tükrözi, amely nem feltétlenül esik egybe a Portfolio szerkesztőségének álláspontjával.
Címlapkép: Getty Images
